写在开始

这一章的内容稍微多一点,但是以公式为主

第二章

一些基础的矩阵转换

直角坐标和柱面坐标的转换

矩阵转换

首先是直角坐标转柱面坐标的

$$ \left [ \begin {matrix} A_\rho \\ A_\phi \\ A_z \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end {matrix} \right] $$

然后是柱面坐标转直角坐标的

$$ \left [ \begin {matrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix} A_\rho \\ A_\phi \\ A_z \end {matrix} \right] $$

这两个比较重要,要记住.

然后就是点的转换了

$$ \rho=\sqrt{x^2+y^2} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \\ z=z $$

看起来没什么难度,但是要记住.

直角坐标和球面坐标的转换

矩阵转换

$$ \left[ \begin{matrix} A_r\\ A_\theta\\ A_\phi \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_x \\ A_y \\ A_z \\ \end{matrix} \right] $$

点转换

$$ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} , \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} , \phi=\arctan\frac{y}{x} \\ x=r\sin\theta\cos\phi , y=r\sin\theta\sin\phi , z=r\cos\theta $$

接下来就是微元的一些定义

直角坐标系

长度微元

$$ \mathrm{d}\mathbf{l}=\mathrm{d}x\mathbf{a_x}+\mathrm{d}y\mathbf{a_y}+\mathrm{d}z\mathbf{a_z} $$

体积微元

$$ \mathrm{d}\mathbf{v}=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z $$

面积微元

$$ \mathrm{d}\mathbf{S}= \begin{cases} \mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathbf{a_x} \\ \mathrm{d}x\mathrm{d}z\mathbf{a_y} \\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathbf{a_z} \end{cases} $$

柱面坐标系

长度微元

$$ \mathrm{d}\mathbf{l}=\mathrm{d}\rho\mathbf{a_\rho}+\rho\mathrm{d}\phi\mathbf{a_\phi}+\mathrm{d}z\mathbf{a_z} $$

面积微元

$$ \mathrm{d}S= \begin{cases} \rho\mathrm{d}\phi\mathrm{d}z\mathbf{a_\rho} \\ \mathrm{d}\rho\mathrm{d}z\mathbf{a_\phi} \\ \rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\phi\mathbf{a_z} \end{cases} $$

体积微元

$$ \mathrm{d}v=\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\phi\mathrm{d}z $$

球面坐标系

长度微元

$$ \newcommand\md{\mathrm{d}} \\ \md\mathbf{l}=\md r \mathbf{a_r}+r\md\theta\mathbf{a_\theta}+r\sin\theta\md\phi\mathbf{a_\phi} $$

面积微元

$$ \newcommand\md{\mathrm{d}} \\ \md\mathbf{l}= \begin{cases} r^2\,\sin\theta\,\md\theta\,\md\phi\,\mathbf{a_r} \\ r\,\sin\theta\,\md\,r\,\md\phi\,\mathbf{a_\theta} \\ r\,\md r\,\md\theta\,\mathbf{a_\phi} \end{cases} $$

体积微元

$$ \newcommand\md{\mathrm{d}} \\ \md v = r^2 \, \sin\theta \, \md r \, \md\theta\,\md\phi $$

然后就是积分部分

曲线积分

$$ \newcommand\md{\mathrm{d}} \\ \int_L A \cdot \md \mathbf{l} = \int_a^b |A| \cos\theta\,\md\mathbf{l} $$

环路线积分

$$ \newcommand\md{\mathrm{d}} \\ \oint_L A \cdot \md\mathbf{l} $$

面积分

$$ \newcommand\md{\mathrm{d}} \\ \psi=\int_S A \cdot \md\mathbf{S}=\int_S A \cdot \mathbf{a_n}\,\md\mathbf{S}=\int_S |A| \cos\theta\,\md\mathbf{S} $$

体积分

$$ \newcommand\md{\mathrm{d}} \\ \int_v \rho_v \,\md v $$

写在最后

这一章记一记公式就行了吧,还是大物的范畴之内的.